Подробнее про математическое ожидание

Понятие «математическое ожидание», возможно, впервые было использовано в XVII веке в работах знаменитого физика Х. Гюйгенса.

Например, если мы играем, бросая одну кость (кубик), при условии, что при выпадении 6 мы получаем 12 рублей, а при любой другой цифре отдаем 2,4 рубля, то математическое ожидание результата - ноль (см. Табл. 1). Если отдавать нужно 3 рубля (см. Табл. 2) или выигрыш составляет 9 рублей (см. Табл. 3), то результат отрицательный. Если выигрыш - 15 рублей (см. Табл. 4) или возможный проигрыш - 1,8 рубля (см. Табл. 5), то математическое ожидание такой игры положительное.

Табл. 1. Нулевой результат
Событие Вероятность Результат Математическое ожидание
6 1/6 Получаем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12)
не 6 5/6 Отдаем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2,4)
Итого 0
Табл. 2. Проигрыш
Событие Вероятность Результат Математическое ожидание
6 1/6 Получаем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12)
не 6 5/6 Отдаем 3 руб. – 2,5 руб. (5/6*3)
Итого – 0,5. руб
Табл. 3. Проигрыш
Событие Вероятность Результат Математическое ожидание
6 1/6 Получаем 9 руб. + 1,5 руб. (1/6*9)
не 6 5/6 Отдаем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2,4)
ИТОГО – 0.5 руб.
Табл. 4. Выигрыш
Событие Вероятность Результат Математическое ожидание
6 1/6 Получаем 15 руб. + 2,5 руб. (1/6*15)
не 6 5/6 Отдаем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2.4)
ИТОГО + 0,5 руб
Табл. 5. Выигрыш
Событие Вероятность Результат Математическое ожидание
6 1/6 Получаем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12)
не 6 5/6 Отдаем 1,8 руб. – 1,5 руб. (5/6*1.8)
ИТОГО + 0,5 руб.

Аналогичные расчеты возможны и для исходов событий, вероятность которых неодинакова. Например, при бросании двух костей вероятность того, что сумма выпавших граней будет больше 3, довольна высока (точнее, 11/12, или более 90 %). Если поставить на это событие 1 рубль, то даже при возможном проигрыше в 10 рублей при выпадении 2 или 3, математическое ожидание результата игры положительное (см. Табл. 6). Важно, однако, помнить, что при таких расчетах речь всегда идет не об одном броске, а о партии, состоящей из достаточно большого количества игр. Поэтому реальные проблемы возникают, когда мы сталкиваемся с ситуацией очень большого проигрыша от весьма маловероятного события. Если оно произошло в начале игры, то благоприятного исхода можно просто не дождаться (см. Табл. 7).

Однако чаще ситуация выглядит как в таблице 8: мы, в принципе, знаем, что математическое ожидание отрицательно, но надеемся, что «неприятное событие» не произойдет. Поведенческие экономисты называют это явление ошибкой оптимизма - недооценкой вероятности наступления неблагоприятных событий. Например, некоторые люди, связанные с экстремальными видами спорта, считают, что если аккуратно соблюдать все мыслимые правила, то несчастного случая быть не может и страховка им, соответственно, не нужна.

Табл. 6. Выигрыш
Событие Вероятность Результат Математическое ожидание
Больше 3 11/12 Получаем 1 руб. + 0,92 руб.
Меньше 3 1/12 Отдаем 10 руб. – 0,83 руб.
Итого + 0,09 руб.
Табл. 7. Проигрыш
Номер броска Событие Вероятность Результат
1 Больше 3 11/12 + 1 руб.
2 Больше 3 11/12 + 1 руб.
3 Больше 3 11/12 + 1 руб.
4 Меньше 3 1/12 – 10 руб.
5 Больше 3 11/12 + 1 руб.
Итого – 6 руб.
Табл. 8. Ошибка оптимиста
Событие Вероятность Результат Математическое ожидание
Обычное 999/1000 Получаем 1000 руб. + 999 руб.
Большая неприятность 1/1000 Отдаем 1 млн руб. – 1000 руб.
ИТОГО – 999 руб.

#математику_посчитать

Оцените материал
Ваша оценка

{{comment}}