Одна из сложностей жизни состоит в том, что не все можно предусмотреть заранее. Часто это связано не с тем, что мы чего-то не знаем или не понимаем, а с ролью случая и его последствиями, влиянием одновременно неизбежного и непредсказуемого на то, что важно для нас, для нашего благополучия. Случайность подстерегает нас не только в игровых залах и казино. Один из известных современных «философов от финансов» - Нассим Талеб1 - в своих книгах постоянно подчеркивает: «любая ситуация может с течением времени претерпевать изменения». Эти изменения могут быть как благоприятными для нас, так и не очень. Принципиально то, что эти изменения практически неизбежны и непредсказуемы - то есть во многом случайны. В будущем произойти может многое.
Нассим Талеб о судьбе царя Креза
Талеб обычно начинает свою известную книгу с притчи о Крезе и Солоне. Царь Крез жил в VI веке до нашей эры, правил Лидией. «Богат, как Крез» - это выражение знают многие.
Считается, что его богатство связано с тем, что он одним из первых в истории стал чеканить монеты из золота и серебра. Знаменитый древнегреческий историк Плутарх ввел в оборот легенду о встрече Креза и Солона - известного мудреца, политика и правителя Афин.
Легенда говорит, что Крез спросил Солона, знает ли он кого-то счастливее его? В ответ Солон стал приводить примеры простых людей - пастухов и солдат - и рассказывать, как они умерли. Крез поинтересовался, почему Солон не считает его - богача и властителя - счастливым. Смысл ответа был таков: «Я не знаю, как ты умрешь». Для Креза «состязания» закончились следующим образом. Через несколько лет после встречи с Солоном он начал неудачную войну против персов, был разбит, пленен царем Киром и приговорен к сожжению на костре. Одна из легенд говорит, что, услышав слова «Солон, ты был прав», Кир заинтересовался ситуацией и помиловал Креза, сделав его своим советником.
Возможно, вам, как и Солону, кажется, что плохой конец способен испортить впечатление от длинной и счастливой жизни. В этом случае вы, как и многие люди, придаете слишком большое значение концу истории, а не тому, что происходило на ее протяжении. Счастливая жизнь для вас - это достигнутый в итоге уровень счастья на графике, а не площадь под всей кривой.
Что такое счастье в жизни?Для Талеба история Креза важна тем, что показывает, что хорошие начало и середина истории не гарантируют хорошего продолжения, а видимая нами (зеленая) линия на графике - только одна из возможных траекторий развития.
Для практических целей было бы полезно уметь измерять случайность. С одной стороны, «может произойти, что угодно», но, с другой, мы понимаем, что снег обычно связан с зимой, а отравление - с несвежими продуктами. Поскольку люди давно осознали свою зависимость от случайности, то было разработано довольно много инструментов и приемов, чтобы случайность измерять и ею управлять (или приспосабливаться к ней).
Ключевым понятием здесь является «вероятность», ее можно определить как степень правдоподобности случайного события.37
Зависимые и независимые случайные события
Когда бросается монетка, мы точно знаем, что выпадет либо орел, либо решка, но нет никакой возможности заранее предугадать, что именно это будет. Событие, результат которого заранее предсказать невозможно, называется случайным.
Исследованию свойств и законов наступления таких событий посвящено несколько разделов математики, в частности теория вероятностей. Два случайных события могут быть или зависимыми, или независимыми друг от друга. В случае независимых событий вероятность наступления одного никак не связано с вероятностью наступления другого. Рассмотренный пример с монетками как раз иллюстрирует независимые случайные события: каждый бросок можно рассматривать как уникальный и его результат никак не связан с предыдущим. С зависимыми событиями все наоборот: вероятность второго будет зависеть от результатов первого. Например, если мы имеем дело с игрой в карты, по правилам которой сыгравшие карты в колоду не возвращаются (например, в дурака или покер), то вероятность вытащить карту определенной масти прямо зависит от того, какие карты были разыграны до этого.
Вероятность может изменяться от 0 до 1. Если вероятность события равна нулю - это невероятное событие. Например, то, что подброшенная монетка зависнет в воздухе (то есть закон гравитации перестанет действовать). Если вероятность равна 1 (или 100 %) - событие, которое обязательно наступит. Великий экономист Дж. Кейнс говорил (по другому поводу), что «в долгосрочной перспективе мы все умрем»2. И вообще говоря, и падение монетки на землю, и то, что любой человек рано или поздно умрет, не могут считаться случайными событиями. Вероятность случайного события - всегда больше 0 и меньше 1. В нашем примере с монеткой вероятность выпадения орла и решки одинакова и, соответственно, равна 50%3. Эту цифру ни в коем случае нельзя понимать так, что если при первом броске выпал орел, то при втором будет решка: каждое бросание монетки - это независимое от предыдущего событие. Равные вероятности - это означает, что если бросать монетку много раз, то орел и решка выпадут примерно одинаковое число раз4. Чем больше бросать, тем более равным окажется распределение результатов.
Исторически исследования вероятности были связаны с азартными играми. Перед исследователями, которые сами являлись игроками, стояли очень прикладные задачи, связанные с расчетом правильных ставок, справедливого раздела выигрышей, использованием ошибок соперников и поиском стратегий обогащения. Играли в основном в кости, а основным объектом наблюдения был обычный игральный кубик (или несколько кубиков - в зависимости от разновидности игры). Как легко догадаться, вероятность выпадения каждой из граней равна 1/6 (или около 16,5 %). Но если несколько раз бросается несколько костей, то вопрос, на какое число сколько ставить, кажется менее тривиальной задачей.
На помощь приходит понятие «математическое ожидание». Идея состоит в том, что если суммировать произведения вероятностей определенных исходов (например, выигрышей) и значения этих исходов (суммы выигрышей), то получится математически ожидаемое значение результата игры.
Подробнее про математическое ожидание
Понятие «математическое ожидание», возможно, впервые было использовано в XVII веке в работах знаменитого физика Х. Гюйгенса.
Например, если мы играем, бросая одну кость (кубик), при условии, что при выпадении 6 мы получаем 12 рублей, а при любой другой цифре отдаем 2,4 рубля, то математическое ожидание результата - ноль (см. Табл. 1). Если отдавать нужно 3 рубля (см. Табл. 2) или выигрыш составляет 9 рублей (см. Табл. 3), то результат отрицательный. Если выигрыш - 15 рублей (см. Табл. 4) или возможный проигрыш - 1,8 рубля (см. Табл. 5), то математическое ожидание такой игры положительное.
Табл. 1. Нулевой результат Событие Вероятность Результат Математическое ожидание 6 1/6 Получаем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12) не 6 5/6 Отдаем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2,4) Итого 0
Табл. 2. Проигрыш Событие Вероятность Результат Математическое ожидание 6 1/6 Получаем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12) не 6 5/6 Отдаем 3 руб. – 2,5 руб. (5/6*3) Итого – 0,5. руб
Табл. 3. Проигрыш Событие Вероятность Результат Математическое ожидание 6 1/6 Получаем 9 руб. + 1,5 руб. (1/6*9) не 6 5/6 Отдаем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2,4) ИТОГО – 0.5 руб.
Табл. 4. Выигрыш Событие Вероятность Результат Математическое ожидание 6 1/6 Получаем 15 руб. + 2,5 руб. (1/6*15) не 6 5/6 Отдаем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2.4) ИТОГО + 0,5 руб
Табл. 5. Выигрыш Событие Вероятность Результат Математическое ожидание 6 1/6 Получаем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12) не 6 5/6 Отдаем 1,8 руб. – 1,5 руб. (5/6*1.8) ИТОГО + 0,5 руб. Аналогичные расчеты возможны и для исходов событий, вероятность которых неодинакова. Например, при бросании двух костей вероятность того, что сумма выпавших граней будет больше 3, довольна высока (точнее, 11/12, или более 90 %). Если поставить на это событие 1 рубль, то даже при возможном проигрыше в 10 рублей при выпадении 2 или 3, математическое ожидание результата игры положительное (см. Табл. 6). Важно, однако, помнить, что при таких расчетах речь всегда идет не об одном броске, а о партии, состоящей из достаточно большого количества игр. Поэтому реальные проблемы возникают, когда мы сталкиваемся с ситуацией очень большого проигрыша от весьма маловероятного события. Если оно произошло в начале игры, то благоприятного исхода можно просто не дождаться (см. Табл. 7).
Однако чаще ситуация выглядит как в таблице 8: мы, в принципе, знаем, что математическое ожидание отрицательно, но надеемся, что «неприятное событие» не произойдет. Поведенческие экономисты называют это явление ошибкой оптимизма - недооценкой вероятности наступления неблагоприятных событий. Например, некоторые люди, связанные с экстремальными видами спорта, считают, что если аккуратно соблюдать все мыслимые правила, то несчастного случая быть не может и страховка им, соответственно, не нужна.
Табл. 6. Выигрыш Событие Вероятность Результат Математическое ожидание Больше 3 11/12 Получаем 1 руб. + 0,92 руб. Меньше 3 1/12 Отдаем 10 руб. – 0,83 руб. Итого + 0,09 руб.
Табл. 7. Проигрыш Номер броска Событие Вероятность Результат 1 Больше 3 11/12 + 1 руб. 2 Больше 3 11/12 + 1 руб. 3 Больше 3 11/12 + 1 руб. 4 Меньше 3 1/12 – 10 руб. 5 Больше 3 11/12 + 1 руб. Итого – 6 руб.
Табл. 8. Ошибка оптимиста Событие Вероятность Результат Математическое ожидание Обычное 999/1000 Получаем 1000 руб. + 999 руб. Большая неприятность 1/1000 Отдаем 1 млн руб. – 1000 руб. ИТОГО – 1 руб.
- Нассим Николас Талеб американский экономист и трейдер, родился в 1960 году в Ливане. Считает, что ученые, экономисты, историки, политики, бизнесмены и финансисты переоценивают возможности рациональных толкований статистики и недооценивают влияние необъяснимых случайностей. По его мнению, важные случайности, или «черные лебеди», играют важную роль в ходе истории. ↵
- «Долгосрочная перспектива» плохой советчик в текущих делах. В долгосрочной перспективе все мы мертвы" («Трактат о денежной реформе», гл. 3). ↵
- Принято считать, что есть еще такое маловероятное событие, как падение монеты на ребро. Поэтому, строго говоря, вероятности орла и решки равны, но чуть-чуть менее 0,5. ↵
- Это правило называют теоремой Бернулли. Легенда гласит, что знаменитый игрок Бюффон еще в XVIII веке провел свое испытание и подбросил монету 4040 раз. Орел выпал 2048 раз. ↵