Понятие «математическое ожидание», возможно, впервые было использовано в XVII веке в работах знаменитого физика Х. Гюйгенса.

Например, если мы играем, бросая одну кость (кубик), при условии, что при выпадении 6 мы получаем 12 рублей, а при любой другой цифре отдаем 2,4 рубля, то математическое ожидание результата - ноль (см. Табл. 1). Если отдавать нужно 3 рубля (см. Табл. 2) или выигрыш составляет 9 рублей (см. Табл. 3), то результат отрицательный. Если выигрыш - 15 рублей (см. Табл. 4) или возможный проигрыш - 1,8 рубля (см. Табл. 5), то математическое ожидание такой игры положительное.

Аналогичные расчеты возможны и для исходов событий, вероятность которых неодинакова. Например, при бросании двух костей вероятность того, что сумма выпавших граней будет больше 3, довольна высока (точнее, 11/12, или более 90 %). Если поставить на это событие 1 рубль, то даже при возможном проигрыше в 10 рублей при выпадении 2 или 3, математическое ожидание результата игры положительное (см. Табл. 6). Важно, однако, помнить, что при таких расчетах речь всегда идет не об одном броске, а о партии, состоящей из достаточно большого количества игр. Поэтому реальные проблемы возникают, когда мы сталкиваемся с ситуацией очень большого проигрыша от весьма маловероятного события. Если оно произошло в начале игры, то благоприятного исхода можно просто не дождаться (см. Табл. 7).

Однако чаще ситуация выглядит как в таблице 8: мы, в принципе, знаем, что математическое ожидание отрицательно, но надеемся, что «неприятное событие» не произойдет. Поведенческие экономисты называют это явление ошибкой оптимизма - недооценкой вероятности наступления неблагоприятных событий. Например, некоторые люди, связанные с экстремальными видами спорта, считают, что если аккуратно соблюдать все мыслимые правила, то несчастного случая быть не может и страховка им, соответственно, не нужна.