Подробнее про математическое ожидание

По­ня­тие «ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние», воз­мож­но, впер­вые бы­ло ис­поль­зо­ва­но в XVII ве­ке в ра­бо­тах зна­ме­ни­то­го фи­зи­ка Х. Гюйген­са.

На­при­мер, если мы иг­ра­ем, бро­сая од­ну кость (ку­бик), при усло­вии, что при вы­па­де­нии 6 мы по­лу­ча­ем 12 ру­блей, а при лю­бой дру­гой циф­ре отда­ем 2,4 руб­ля, то ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ре­зульта­та - ноль (см. Табл. 1). Если отда­вать нуж­но 3 руб­ля (см. Табл. 2) или вы­игрыш со­став­ляет 9 ру­блей (см. Табл. 3), то ре­зультат от­ри­ца­тель­ный. Если вы­игрыш - 15 ру­блей (см. Табл. 4) или воз­мож­ный проигрыш - 1,8 руб­ля (см. Табл. 5), то ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние та­кой иг­ры по­ло­жи­тель­ное.

Табл. 1. Ну­ле­вой ре­зультат
Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
6 1/6 По­лу­ча­ем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12)
не 6 5/6 От­да­ем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2,4)
Ито­го 0
Табл. 2. Проигрыш
Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
6 1/6 По­лу­ча­ем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12)
не 6 5/6 От­да­ем 3 руб. – 2,5 руб. (5/6*3)
Ито­го – 0,5. руб
Табл. 3. Проигрыш
Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
6 1/6 По­лу­ча­ем 9 руб. + 1,5 руб. (1/6*9)
не 6 5/6 От­да­ем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2,4)
ИТОГО – 0.5 руб.
Табл. 4. Вы­игрыш
Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
6 1/6 По­лу­ча­ем 15 руб. + 2,5 руб. (1/6*15)
не 6 5/6 От­да­ем 2,4 руб. – 2 руб. (5/6*2.4)
ИТОГО + 0,5 руб
Табл. 5. Вы­игрыш
Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
6 1/6 По­лу­ча­ем 12 руб. + 2 руб. (1/6*12)
не 6 5/6 От­да­ем 1,8 руб. – 1,5 руб. (5/6*1.8)
ИТОГО + 0,5 руб.

Ана­ло­гич­ные рас­че­ты воз­мож­ны и для ис­хо­дов со­бы­тий, ве­ро­ят­ность ко­то­рых не­оди­на­ко­ва. На­при­мер, при бро­са­нии двух ко­стей ве­ро­ят­ность то­го, что сум­ма вы­пав­ших гра­ней бу­дет больше 3, до­воль­на вы­со­ка (точнее, 11/12, или бо­лее 90 %). Если по­ста­вить на это со­бы­тие 1 рубль, то да­же при воз­мож­ном проигры­ше в 10 ру­блей при вы­па­де­нии 2 или 3, ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние ре­зульта­та иг­ры по­ло­жи­тель­ное (см. Табл. 6). Важ­но, од­на­ко, по­мнить, что при та­ких рас­че­тах речь все­гда идет не об од­ном брос­ке, а о пар­тии, со­сто­я­щей из до­ста­точ­но большо­го ко­ли­че­ства игр. По­это­му ре­аль­ные пробле­мы воз­ни­кают, когда мы стал­ки­ва­ем­ся с си­ту­а­ци­ей очень большо­го проигры­ша от весь­ма ма­ло­ве­ро­ят­но­го со­бы­тия. Если оно произо­шло в на­ча­ле иг­ры, то благо­при­ят­но­го ис­хо­да мож­но про­сто не до­ждать­ся (см. Табл. 7).

Од­на­ко ча­ще си­ту­а­ция вы­гля­дит как в та­бли­це 8: мы, в прин­ци­пе, зна­ем, что ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние от­ри­ца­тель­но, но на­деем­ся, что «не­при­ят­ное со­бы­тие» не произой­дет. По­ве­ден­че­ские эко­но­ми­сты на­зы­ва­ют это яв­ле­ние ошиб­кой оп­ти­миз­ма - недо­оцен­кой ве­ро­ят­но­сти на­ступ­ле­ния не­благо­при­ят­ных со­бы­тий. На­при­мер, не­ко­то­рые лю­ди, свя­зан­ные с экс­тре­маль­ны­ми ви­да­ми спор­та, счи­та­ют, что если ак­ку­рат­но соблю­дать все мыс­ли­мые пра­ви­ла, то не­счастно­го слу­чая быть не мо­жет и стра­хов­ка им, со­от­вет­ствен­но, не нуж­на.

Табл. 6. Вы­игрыш
Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
Больше 3 11/12 По­лу­ча­ем 1 руб. + 0,92 руб.
Мень­ше 3 1/12 От­да­ем 10 руб. – 0,83 руб.
Ито­го + 0,09 руб.
Табл. 7. Проигрыш
Но­мер брос­ка Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат
1 Больше 3 11/12 + 1 руб.
2 Больше 3 11/12 + 1 руб.
3 Больше 3 11/12 + 1 руб.
4 Мень­ше 3 1/12 – 10 руб.
5 Больше 3 11/12 + 1 руб.
Ито­го – 6 руб.
Табл. 8. Ошиб­ка оп­ти­ми­ста
Со­бы­тие Ве­ро­ят­ность Ре­зультат Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние
Обыч­ное 999/1000 По­лу­ча­ем 1000 руб. + 999 руб.
Большая не­при­ят­ность 1/1000 От­да­ем 1 млн руб. – 1000 руб.
ИТОГО – 1 руб.
Оцените материал
Ваша оценка

{{comment}}