Одна из сложностей жизни состоит в том, что не все можно предусмотреть заранее. Часто это связано не с тем, что мы чего-то не знаем или не понимаем, а с ролью случая и его последствиями, влиянием одновременно неизбежного и непредсказуемого на то, что важно для нас, для нашего благополучия. Случайность подстерегает нас не только в игровых залах и казино. Один из известных современных «философов от финансов» - Нассим Талеб¹ - в своих книгах постоянно подчеркивает: «любая ситуация может с течением времени претерпевать изменения». Эти изменения могут быть как благоприятными для нас, так и не очень. Принципиально то, что эти изменения практически неизбежны и непредсказуемы - то есть во многом случайны. В будущем произойти может многое.

Нассим Талеб о судьбе царя Креза

Для практических целей было бы полезно уметь измерять случайность. С одной стороны, «может произойти, что угодно», но, с другой, мы понимаем, что снег обычно связан с зимой, а отравление - с несвежими продуктами. Поскольку люди давно осознали свою зависимость от случайности, то было разработано довольно много инструментов и приемов, чтобы случайность измерять и ею управлять (или приспосабливаться к ней).

Ключевым понятием здесь является «вероятность», ее можно определить как степень правдоподобности случайного события.

Зависимые и независимые случайные события

Вероятность может изменяться от 0 до 1. Если вероятность события равна нулю - это невероятное событие. Например, то, что подброшенная монетка зависнет в воздухе (то есть закон гравитации перестанет действовать). Если вероятность равна 1 (или 100 %) - событие, которое обязательно наступит. Великий экономист Дж. Кейнс говорил (по другому поводу), что «в долгосрочной перспективе мы все умрем»². И вообще говоря, и падение монетки на землю, и то, что любой человек рано или поздно умрет, не могут считаться случайными событиями. Вероятность случайного события - всегда больше 0 и меньше 1. В нашем примере с монеткой вероятность выпадения орла и решки одинакова и, соответственно, равна 50 %³. Эту цифру ни в коем случае нельзя понимать так, что если при первом броске выпал орел, то при втором будет решка: каждое бросание монетки - это независимое от предыдущего событие. Равные вероятности - это означает, что если бросать монетку много раз, то орел и решка выпадут примерно одинаковое число раз⁴. Чем больше бросать, тем более равным окажется распределение результатов.

Исторически исследования вероятности были связаны с азартными играми. Перед исследователями, которые сами являлись игроками, стояли очень прикладные задачи, связанные с расчетом правильных ставок, справедливого раздела выигрышей, использованием ошибок соперников и поиском стратегий обогащения. Играли в основном в кости, а основным объектом наблюдения был обычный игральный кубик (или несколько кубиков - в зависимости от разновидности игры). Как легко догадаться, вероятность выпадения каждой из граней равна 1/6 (или около 16,5 %). Но если несколько раз бросается несколько костей, то вопрос, на какое число сколько ставить, кажется менее тривиальной задачей.

На помощь приходит понятие «математическое ожидание». Идея состоит в том, что если суммировать произведения вероятностей определенных исходов (например, выигрышей) и значения этих исходов (суммы выигрышей), то получится математически ожидаемое значение результата игры.

Подробнее про математическое ожидание